La frontera entre la relatividad general y la mecánica cuántica

La frontera entre la relatividad general y la mecánica cuántica
Mientras la relatividad general ofrece explicación a fenómenos situados en el reino de lo muy grande, la explicación de los fenómenos circunscritos al ámbito de lo muy pequeño queda reservado a la mecánica cuántica. Pero este pluralismo epistemológico arrastra un grave problema. Ambas teorías se muestran casi imposibles de armonizar cuando se trata de ofrecer explicaciones satisfactorias a aquellos fenómenos naturales que comparten aspectos combinados de ambas teorías.
   Si bien en la física clásica el conocimiento de las condiciones iniciales de un sistema permite deducir con exactitud su evolución en el tiempo, en mecánica cuántica esto no es posible, siendo que aunque precisemos el estado inicial de un sistema, la aspiración máxima que podemos alcanzar es solo la obtención de la probabilidad de que el sistema se encuentre en otro estado diferente en un tiempo posterior.
   La relatividad general es una teoría clásica, y por tanto determinista, de tal modo que puede ofrecernos una visión muy exacta de la evolución del universo desde las primeras fracciones de segundo hasta la época actual y futura. Pero ese carácter clásico también le hace incompetente para describir los procesos físicos que acontecen a escalas de distancia o tiempos muy pequeños, como aquellos que se presentaron en los primeros instantes del universo. La explicación de este tipo de fenómenos hace necesario una formulación de la gravedad en términos de la mecánica cuántica.
   Comprender la necesidad de una teoría cuántica de la gravedad implica un acercamiento que permita establecer dónde se encuentra la frontera entre la relatividad general y la mecánica cuántica, cuestión que nos lleva a la introducción de las magnitudes que se barajan en la llamada era de Planck.
   Se define la longitud de onda de Compton de una partícula como aquella longitud de onda con valor equivalente a la de un fotón cuya energía fuese la misma que la energía en reposo de esa partícula. El valor de la longitud de onda de Compton es inversamente proporcional a la masa. También, de acuerdo con la mecánica cuántica, es imposible establecer la localización exacta de una partícula [1], siendo que a lo máximo que podemos aspirar es a medir la probabilidad de que dicha partícula se encuentre dentro de una región determinada. Asimismo, también establece que toda partícula presenta propiedades ondulatorias [2]. Poner en relación estos tres conceptos (longitud de onda de Compton, localización y dualidad) implica establecer que «no es posible localizar una partícula con una precisión mayor que su longitud de onda de Compton» [3], o lo que es lo mismo, cualquier intento de localizar una partícula concreta nos lleva a considerar su localización dentro de una región del espacio de un tamaño dado por su longitud de onda de Compton.
   Teniendo en cuenta lo anterior, podemos representar una partícula subatómica cualquiera como una región del espacio, asemejada a una nube, dentro de la cual existirá una alta probabilidad de encontrar esa partícula. Por otro lado, si consideramos dos partículas con masa, se ejercerá entre ellas una cierta atracción gravitatoria. El problema sobreviene cuando esas nubes de probabilidad se acercan entre sí hasta el límite en que ambas nubes se superponen, ocupando una el espacio de la otra. Cuando se llega al solapamiento de esas regiones la atracción gravitatoria entre las partículas deja de tener sentido [4].
   Al mismo tiempo, las partículas subatómicas también son corpúsculos con una masa determinada, y por ello, caracterizadas por su propio radio de Schwarzschild [5]. Así por ejemplo, el radio de Schwarzschild de un electrón es de 1,35×10−51 m y su longitud de onda de Compton es de 2,42×10-12 m.
   El radio de Schwarzschild es el límite por debajo del cual dejan de ser aplicables las leyes de la relatividad general, mientras que la longitud de onda de Compton se trata de un límite impuesto por la mecánica cuántica. Esto nos lleva a pensar en una longitud crítica equidistante a ambos términos, una especie de frontera en la que ambas teorías se hacen colindantes. Esta longitud crítica se denomina longitud de Planck y se define para un objeto masivo como aquella longitud para la cual el radio de Schwarzschild y la longitud de onda de Compton tienen el mismo valor. Su fórmula, en términos de las unidades naturales propuestas por Planck, viene dada por:
formula_1
donde ħ es la constante de Planck reducida, G es la constante de la gravitación universal y c es la velocidad de la luz en el vacío. Por debajo de esta escala de longitud el espacio deja de tener una geometría clásica y la relatividad general ya no puede ser aplicada, debido a la aparición de efectos cuánticos en la materia. El valor asignado a la longitud de Planck es de 1,6161×10-35 m.
   Del mismo modo podemos determinar otro valor frontera al que se denomina masa de Planck, que se define como aquella masa crítica para la cual el radio de Schwarzschild es del mismo valor que su longitud de onda de Compton. Viene dado por la fórmula:
formula_2
El valor asignado a la masa de Planck es de 2,1765×10-8 Kg. Este valor representa otro límite donde entran en conflicto las descripciones clásica y cuántica de la naturaleza.
   Y a partir de la longitud de Planck podemos determinar un tercer valor crítico al que se denomina tiempo de Planck, el cual representa el tiempo que necesita un fotón para atravesar una distancia igual a la longitud de Planck. Se define como la longitud de Planck dividido por la velocidad de la luz. Su fórmula viene dada por:
formula_3
El valor estimado del tiempo de Planck es de 5,3910×10-44 s. Este intervalo se considera el tiempo más temprano en la historia del universo que nos es posible estudiar, mientras no dispongamos de una teoría general que englobe tanto la relatividad general como la mecánica cuántica.
   Los conceptos relacionados con la métrica de Planck son fundamentales para entender las condiciones iniciales que se presentaron en el nacimiento del universo. El intento de conocer qué ocurrió en esos instantes nos lleva a considerar la naturaleza cuántica del big bang. Y es que, si el universo se está expandiendo, y de acuerdo con los modelos cosmológicos que proporcionan las ecuaciones de la relatividad general, se hace inevitable concluir que en algún momento del pasado el universo tuvo que estar confinado en un espacio muy pequeño (del orden del tamaño de una partícula subatómica) y con una densidad de energía muy alta. La descripción de un objeto de estas características necesita de las leyes de la mecánica cuántica. En estas condiciones son las magnitudes de Planck las que gobiernan el universo, necesitándose para su explicación de unas leyes físicas que combinen la mecánica cuántica con la relatividad general, dado que la naturaleza cuántica de la materia produce a esas magnitudes perturbaciones muy significativas en la métrica del espacio-tiempo. Según Ashtekar, en las extremas condiciones que se dieron en el big bang: «[…] ineludiblemente debieron encontrarse ambos mundos, el de la relatividad general y el de la mecánica cuántica» [6].

Referencias
[1] Principio de indeterminación de Heisenberg.
[2] Postulado de la dualidad onda-corpúsculo.
[3] Garay, L.J. (1995). Quantum gravity and minimum length. International Journal of Modern Physics A, vol. 10, no. 2, pp 145-165, p.146.
[4] Schombert, J. (s.f.). Quantum Physics. AST123: Galaxies and the Expanding Universe. Disponible en: http://abyss.uoregon.edu/~js/ast123/lectures/lec06.html
[5] El radio de Schwarzschild remite al tamaño de un agujero negro esférico y estático. Se corresponde con el radio aparente del horizonte de sucesos.
[6] Ashtekar, A. (2006). Gravity and the quantum. New Journal of Physics, vol. 7, no. 198, pp 200-232, p.202.

 

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